Matriks

·       Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.

·       Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m ´ n) adalah:

                  

·       Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n ´ n.

·       Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [a_ij].

Contoh 1. Di bawah ini adalah matriks yang berukuran 3 ´ 4:

                                                                                                                                         

·       Matriks simetri adalah matriks yang a_ij = a_ji untuk setiap i dan j.

Contoh 2. Di bawah ini adalah contoh matriks simetri.

               

               

·       Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

    Contoh 3. Di bawah ini adalah contoh matriks 0/1:

               

      

Relasi

·       Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A ´ B.

·       Notasi: R Í (A ´ B).  

·       a R b adalah notasi untuk (a, b) Î R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R

·       a R b adalah notasi untuk (a, b) Ï R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

·       Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh 3. Misalkan

A = {Amir, Budi, Cecep},  B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

A ´ B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),

(Amir, IF323),  (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),

(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),

        (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

- Dapat dilihat bahwa R Í (A ´ B),

- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.

- (Amir, IF251) Î R  atau Amir R IF251

- (Amir, IF342) Ï R atau Amir R  IF342.                                         

                                                                      

Contoh 4. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

          (p, q) Î R  jika p habis membagi q

maka kita peroleh

          R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }                                             

·       Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

·       Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ´ A.

·       Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A ´ A.

Contoh 5. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Î R  jika x adalah faktor prima dari y. Maka

          R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)} 

 Relasi atau hubungan antara himpunan A dan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
- Dengan diagram panah
- Dengan himpunan pasangan berurutan, dan
- Dengan diagram kartesius.
Contoh :
Diketahui himpunan A = {3,4,5} dan B ={2,4}. Bila relasi dari A ke B adalah lebih dari , nyatakan relasi tersebut dengan :
a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan berurutan
c. Diagram kartesius
Penyelesaian :
a. Diagram panah


b. Himpunan pasangan berurutan
{(3,2),(4,2),(5,2),(5,4)}

c. Diagram kartesius



Pemetaan atau Fungsi adalah suatu relasi tertentu antara himpunan A dan B yang memenuhi syarat bahwa setiap (semua) anggota himpunan A dipasangkan denga tepat satu anggota himpunan B. Tidak semua relasi merupakan sebuah fungsi atau pemetaan, hanya relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut diatas.

Ciri-ciri relasi yang merupakan pemetaan/fungsi :

1.Pada diagram panah : semua anggota A mempunyai pasangan,dan tidak ada cabang relasi dari himpunan A
Contoh pemetaan/fungsi :


Contoh bukan pemetaan/fungsi :



2. Pada Himpunan pasangan berurutan :

Contoh pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)}

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)} ------------- terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari satu kali.

3. Pada diagram kartesius : tidak ada dua titik segaris vertical.
Contoh pemetaan/fungsi :



Contoh bukan pemetaan/fungsi :



Notasi Pemetaan/Fungsi

Sebuah relasi dari himpunan A = {1,2,3} ke himpunan B = {2,3,4,5,6} dengan aturan “setengah dari” digambarkan dalam diagram panah :



Dari diagram panah di atas terdapat beberapa istilah yaitu :

- {1,2,3,x } disebut Domain/Daerah asal

- {2,3,4,5,6,2x } disebut Kodomain / Daerah kawan

- {2,4,6,2x } disebut Range/daerah hasil

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A